Теорема о прямой,перпендикулярной к плоскости. Конспект урока "теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости" Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости гласит
Повторите параграф 1 пункт15- 18, все свойстваи теоремы записаны у вас в тетради, изучите параграф 18,запишите в тетрадь теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости.
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90o.
Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости. Говорят также, что плоскость перпендикулярна к прямой а. |
|
| Если прямая а перпендикулярна к плоскости , то она, очевидно, пересекает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая а не пересекала плоскость , то она лежала бы в этой плоскости или была бы параллельна ей. Но в том и в другом случае в плоскости имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что невозможно. Значит, прямая а пересекает плоскость . |
Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Замечания.
Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой, и притом единственная. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна. Если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны.
Изучите ответы на вопросы:
В пространстве перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. (Да, например куб.) Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то другая прямая параллельна этой прямой. (Нет, перпендикулярна.) Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости. (Нет, т. к. по условию прямые могут лежать в этой плоскости.) Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая параллельна плоскости. (Нет, перпендикулярна.) Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. (Да, по признаку.) Если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна к двум сторонам треугольника, лежащим в этой плоскости. (Да.) Если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна к двум сторонам квадрата. (Нет.)
В тетраэдре ABCD (рисунок 1) BCD = ACD =90°, Верно ли, что на рисунке ребра АВ, АС, ВС, перпендикулярны CD? (Да.),
Дано: ∆ АВС, ВМ АВ, ВМ ВС, D АС.
Что такое симметрия. Симметрия в географии. Симметрия в геологии. Природные объекты. Примеры симметричного распределения. Виды симметрии. Симметрия цилиндра. Симметрия внешней формы кристалла. Симметрия в биологии. Дискретная симметрия. Симметрия в природе. Симметрия является фундаментальным свойством природы. Симметрия в физике. Симметричные фигуры. Человек, многие животные и растения обладают двусторонней симметрией.
«Условие перпендикулярности прямой и плоскости» - Теорема о прямой,перпендикулярной к плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Прямые МА и МС. Докажем,что прямая а перпендикулярна к произвольной прямой m. Свойства наклонных. Теорема о двух параллельных прямых. Теоремы,устанавливающие связь между параллельностью. Прямая а перпендикулярна к плоскости АНМ. Теорема о трёх перпендикулярах. План построения. Теорема о двух прямых, перпендукулярных к плоскости.
«Методы построения сечений» - Формирование умений и навыков построения сечений. Памятка. Рассмотрим четыре случая построения сечений параллелепипеда. Секущая плоскость. Метод внутреннего проектирования. Построение сечений многогранников. Следом называют прямую пересечения плоскости сечения и плоскости какой-либо грани многогранника. Параллелепипед имеет шесть граней. Построить сечения тетраэдра. Метод следов. Работа с дисками.
«Следствия из аксиом стереометрии» - Элементы куба. Плоскость. Проведите прямую. Каким плоскостям принадлежит точка. Слайды по геометрии. Найдите прямую пересечения плоскостей. Решение. Различные плоскости. Аксиомы планиметрии. Самостоятельная работа. Утверждения. Постройте изображение куба. Планиметрия. Существование плоскости. Плоскости. Доказательство. Прямые,пересекающиеся в точке. Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из них.
«Определение двугранных углов» - Грани параллелепипеда. Где можно увидеть теорему трёх перпендикуляров. Задача. Проведем луч. Плоскость М. Точка на ребре может быть произвольная. Фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями. Двугранные углы в пирамидах. Перпендикуляр, наклонная и проекция. Точка К. Угол при боковом ребре прямой призмы. Определение и свойства. Ромб. Концы отрезка. Свойство трёхгранного угла. Перпендикулярные плоскости.
«Параллелепипед» - «Зальцбургский параллелепипед». Изучение свойств геометрических фигур с помощью алгебры. В параллелепипед можно вписать тетраэдр. Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед. Свойства диагоналей прямоугольного параллелепипеда. Развитие геометрии. Диагонали прямого параллелепипеда вычисляются по формулам. Так параллелепипед выглядит в развертке. Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
Лекция по теме «Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости»
Вспомним их: Первая теорема Признак перпендикулярности прямой и плоскостиЕсли прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
И две теоремы о параллельных прямых прямая теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
И обратная теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. Доказательство этих теорем мы уже с вами разбирали.
На экране текст:
Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
На экране добавляется текст:
Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
На экране добавляется текст:
Обратная теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Задача.
Доказать, что через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой.
Для решения рассмотрим прямую а, и произвольную точку пространства –точку М. Докажем, что существует плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная к прямой а.
Для доказательства проведем две плоскости α и β содержащие прямую а, так как это их общая прямая, значит прямая а их линия пересечения.
В плоскости β через точку М проведем прямую b перпендикулярную к прямой а . пусть эти прямые пересекаются в точке О.
В плоскости α проведём прямую с , проходящую через точку О и перпендикулярную прямой а .
По теореме о существовании плоскости, а именно через две пересекающие прямые в и с можно провести плоскость и при том только одну.
Рассмотрим плоскость γ ( гамма ) , проходящая через прямые с и b .
Плоскость γ( гамма ) будет искомой плоскостью, так как прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым в и с
На экране текст задачи: Доказать, что через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой.
На экране чертеж
На экране обновляется чертеж и добавляется пункт решения.
Доказательство:Проведем α, β: а , М
На экране обновляется чертёж и пункт доказательства 2)
Доказательство:Проведем b : b , b , b а, b а=О
На экране обновляется чертёж и добавляется пункт доказательства 3)
Доказательство:Проведем с: с , с , с а
Добавляется пункт доказательства 4)
Добавляется пункт доказательства 5)
a ⊥.
Данная задача демонстрирует существование плоскости перпендикулярной данной прямой. Рассмотрим теорему, утверждающую о существовании и единственности прямой перпендикулярной к данной плоскости.
Рассмотрим плоскость α и произвольную точку пространства – точку А.
Докажем, что через точу А проходит единственная прямая, перпендикулярная к данной плоскости.
1,2) Итак, проведем в плоскости α произвольную прямую m . Построим плоскость так что бы она проходила через точку А перпендикулярно к прямой m .
3,4)Пусть плоскость α и β пересекаются по прямой n . В плоскости β, через точку А проведём прямую р, перпендикулярно прямой n .
5) Прямая т , перпендикулярна плоскости β , значит перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, то есть прямая т перпендикулярна прямой р .
6) Тогда прямая p m и n , лежащими в плоскости α , следовательно по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая p перпендикулярна плоскости α .
7) Важно понимать, что такая прямая может быть только одна. Если бы через точку А проходило две прямых, например, ещё прямая p 1 , перпендикулярная плоскости α. Но две прямые перпендикулярные одной плоскости параллельны, что противоречит нашему предположению. Таким образом, через точку пространства проходит только одна прямая перпендикулярная данной плоскости.
Это утверждение в геометрии носит название теоремы о прямой, перпендикулярной к плоскости.
На экране текст:
Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
На экране чертеж
Доказательство:Проведём m : m
Рассмотрим β: βА
Проведем p : p , А р , pm .
К доказательству добавляется пункт 6)
На экране обновляется чертеж и пункт доказательства:
е сущ.Задача
Через вершины А и В прямоугольника АВС D 1 и ВВ 1 1 АВ и АА 1 А D D =25 см, АВ=12 см, AD =16 см.
Решение.1) Так как прямая АА 1 перпендикулярна двум пересекающимся прямым AD и АВ лежащим в плоскости прямоугольника, то признаку перпендикулярности прямой к плоскости АА 1 D .
2) Прямая ВВ 1 параллельна прямой АА 1 следовательно по теореме и прямая ВВ 1 перпендикулярна к плоскости АВС D , и перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости, то есть ВВ 1 перпендикулярна к прямой В D . Значит треугольник В 1 В D прямоугольный.
3) Из прямоугольного треугольника ВAD по теореме Пифагора квадрат гипотенузы BD равен сумме квадратов катетов АВ и AD и BD равняется 20 см.
4)По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника В 1 В D . Квадрат катета В 1 В равен разности квадратов гипотенузы В 1 D и известного катета BD , и катет равен 15 см.
На экране текст задачи. Через вершины А и В прямоугольника АВС D проведены параллельные прямые АА 1 и ВВ 1 не лежащие в плоскости прямоугольника. Известно, что АА 1 АВ и АА 1 А D . Найдите ВВ 1 , если В 1 D =25 см, АВ=12 см, AD =16 см
На экране текст и чертёж:
Решение:К решению добавляется пункт 2) обновляется чертеж
К решению добавляется пункт 3)
: по теореме Пифагора
В D =
К решению добавляется пункт 4) и потом ответ
: по теореме Пифагора
Ответ: 15 см.
Рассмотрим задачу на доказательство.
Прямая а перпендикулярна к плоскости α и перпендикулярна к прямой b b ||
Назовём точку пресечения прямой и плоскости-точкой М.
1,2) Отметим на прямой а некоторую точку N не лежащую на прямой b . Через точку не лежащую на данной прямой можно провести единственную прямую параллельную данной. Пусть этой прямой будет прямая b 1 .
3) Через точку N проведём прямую с 1 .
4)Через точку М в плоскости α проведём прямую с параллельную прямой с 1 .
5)Через две пересекающие прямые с 1 и b 1 можно провести плоскость β согласно теореме о существовании плоскости.
6) Прямая а перпендикулярна по условию плоскости α, значит перпендикулярна прямой с, лежащей в плоскости, но с параллельна прямой с 1 , следовательно прямая а перпендикулярна прямой с 1 .
7,8) Аналогично прямая а перпендикулярна прямой b по условию, прямая b параллельна прямой b 1 , следовательно, прямая а перпендикулярна прямой b 1 . Значит прямая а, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, перпендикулярна плоскости β.
9)Плоскости α и β перпендикулярны прямой а, значит они параллельны.
10) Прямая b параллельна прямой b 1 , значит она параллельна плоскости β, и параллельна плоскости α.
На экране текст задачи:
Задача 3. Прямая а перпендикулярна к плоскости α и перпендикулярна к прямой b , не лежащей в этой плоскости. Докажите, что b||
Дано: а, а bДоказать, что || b
Доказательство:Отметим N : .
b 1 : b 1
На экране обновляется чертеж и добавляется пункт доказательства:
Проведем с 1 : с 1На экране обновляется чертеж и добавляется пункт 4)
Проведем с: с
На экране обновляется чертеж и добавляется пункт доказательства:
Добавляется пункт доказательства 6):
a ⊥α
Добавляется пункт доказательства 7) 8)
ab .
Добавляется пункт доказательства 9)
Добавляется пункт доказательства 10)
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:
В начале изучения сегодняшней темы, мы разберём задачу на применение некоторых теорем о перпендикулярности прямых и плоскостей
Вспомним их: Первая теорема Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
И две теоремы о параллельных прямых прямая теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
И обратная теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. Доказательство этих теорем мы уже с вами разбирали.
Доказать, что через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой.
Для решения рассмотрим прямую а, и произвольную точку пространства -точку М. Докажем, что существует плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная к прямой а.
Для доказательства проведем две плоскости α и β содержащие прямую а, так как это их общая прямая, значит прямая а их линия пересечения.
В плоскости β через точку М проведем прямую b перпендикулярную к прямой а. пусть эти прямые пересекаются в точке О.
В плоскости α проведём прямую с, проходящую через точку О и перпендикулярную прямой а.
По теореме о существовании плоскости, а именно через две пересекающие прямые в и с можно провести плоскость и при том только одну.
Рассмотрим плоскость γ (гамма), проходящая через прямые с и b.
Плоскость γ(гамма) будет искомой плоскостью, так как прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым в и с
Данная задача демонстрирует существование плоскости перпендикулярной данной прямой. Рассмотрим теорему, утверждающую о существовании и единственности прямой перпендикулярной к данной плоскости.
Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
Рассмотрим плоскость α и произвольную точку пространства - точку А.
Докажем, что через точу А проходит единственная прямая, перпендикулярная к данной плоскости.
1,2) Итак, проведем в плоскости α произвольную прямую m. Построим плоскость так что бы она проходила через точку А перпендикулярно к прямой m.
3,4)Пусть плоскость α и β пересекаются по прямой n. В плоскости β, через точку А проведём прямую р, перпендикулярно прямой n.
5) Прямая т, перпендикулярна плоскости β, значит перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, то есть прямая т перпендикулярна прямой р.
6) Тогда прямая p перпендикулярна двум пересекающимся прямым m и n, лежащими в плоскости α, следовательно по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая p перпендикулярна плоскости α.
7) Важно понимать, что такая прямая может быть только одна. Если бы через точку А проходило две прямых, например, ещё прямая p1, перпендикулярная плоскости α. Но две прямые перпендикулярные одной плоскости параллельны, что противоречит нашему предположению. Таким образом, через точку пространства проходит только одна прямая перпендикулярная данной плоскости.
Это утверждение в геометрии носит название теоремы о прямой, перпендикулярной к плоскости.
Через вершины А и В прямоугольника АВСD проведены параллельные прямые АА1 и ВВ1 не лежащие в плоскости прямоугольника. Известно, что АА1 АВ и АА1 АD. Найдите ВВ1, если В1D=25 см, АВ=12 см, AD=16 см.
Решение.1) Так как прямая АА1 перпендикулярна двум пересекающимся прямым AD и АВ лежащим в плоскости прямоугольника, то признаку
перпендикулярности прямой к плоскости АА1 перпендикулярна к плоскости АВСD.
2) Прямая ВВ1 параллельна прямой АА1 следовательно по теореме и прямая ВВ1 перпендикулярна к плоскости АВСD, и перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости, то есть ВВ1 перпендикулярна к прямой ВD. Значит треугольник В1ВD прямоугольный.
3) Из прямоугольного треугольника ВAD по теореме Пифагора квадрат гипотенузы BD равен сумме квадратов катетов АВ и AD и BD равняется 20 см.
4)По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника В1ВD. Квадрат катета В1В равен разности квадратов гипотенузы В1D и известного катета BD , и катет равен 15 см.
Рассмотрим задачу на доказательство.
Прямая а перпендикулярна к плоскости α и перпендикулярна к прямой b, не лежащей в этой плоскости. Докажите, что b||
Назовём точку пресечения прямой и плоскости-точкой М.
1,2) Отметим на прямой а некоторую точку N не лежащую на прямой b. Через точку не лежащую на данной прямой можно провести единственную прямую параллельную данной. Пусть этой прямой будет прямая b1.
3) Через точку N проведём прямую с1.
4)Через точку М в плоскости α проведём прямую с параллельную прямой с1.
5)Через две пересекающие прямые с1 и b1 можно провести плоскость β согласно теореме о существовании плоскости.
6) Прямая а перпендикулярна по условию плоскости α, значит перпендикулярна прямой с, лежащей в плоскости, но с параллельна прямой с1, следовательно прямая а перпендикулярна прямой с1.
7,8) Аналогично прямая а перпендикулярна прямой b по условию, прямая b параллельна прямой b1, следовательно, прямая а перпендикулярна прямой b1. Значит прямая а, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, перпендикулярна плоскости β.
9)Плоскости α и β перпендикулярны прямой а, значит они параллельны.
10) Прямая b параллельна прямой b1, значит она параллельна плоскости β, и параллельна плоскости α.