Həll nümunələrinin yaxınlaşması üçün güc seriyalarını araşdırın. funksional sıralar. Güc seriyası. Seriyanın yaxınlaşma bölgəsi. Müxtəlif dəyərlər üçün ədəd seriyalarının birbaşa təhlili
Konvergensiya sahəsi Funksional sıra üzvləri real oxun müəyyən E çoxluğunda funksiyalar / müəyyən edilmiş sıralardır. Məsələn, seriyanın şərtləri intervalda, seriyanın şərtləri isə seqmentdə müəyyən edilir A funksional seriyası (1) nin hər x nöqtəsində yaxınlaşırsa, Xo € E nöqtəsində yaxınlaşır. D ⊂ E çoxluğu və D çoxluğuna aid olmayan hər bir nöqtədə uzaqlaşır, onda sıra D çoxluğunda yaxınlaşır, D isə sıranın yaxınlaşma bölgəsi adlanır. Seriya (1) D çoxluğuna mütləq yaxınlaşan adlanır, əgər seriyalar bu çoxluğa yaxınlaşırsa.(1) seriyasının D çoxluğunda yaxınlaşması halında, onun cəmi S cəmi D üzərində müəyyən edilmiş funksiya olacaq. Bəzi funksional sıraların yaxınlaşması müsbət üzvləri olan sıralar üçün müəyyən edilmiş məlum kifayət qədər meyarlardan istifadə etməklə tapıla bilər, məsələn, Dapamber işarəsi, Koşi işarəsi. Nümunə 1. M seriyasının yaxınlaşma bölgəsini tapın Ədədi sıra p > 1 üçün yaxınlaşdığına və p > 1 üçün ayrıldığına görə, p - Igx fərz etsək, bu sıranı alırıq. Igx > T olduqda birləşəcək, yəni. x > 10 olarsa və Igx ^ 1 olduqda ayrılır, yəni. 0-da< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х >0 seriyası bir-birindən ayrılır, çünki L =. X = 0-da silsilənin divergensiyası göz qabağındadır. Nümunə 3. Üzvlər seriyasının yaxınlaşma sahəsini tapın bu sıra setdə müəyyən edilmiş və davamlıdır. Kosh işarəsini tətbiq edərək və hər hansı birini tapırıq. Beləliklə, sıra x-in bütün qiymətləri üçün ayrılır. Funksional silsilənin (1) n-ci qismən cəmini Sn(x) ilə işarələyin. Əgər bu sıra D çoxluğunda yaxınlaşırsa və onun cəmi 5(g)-ə bərabərdirsə, onu D çoxluğunda yaxınlaşan sıraların cəminin harada olduğu kimi göstərmək olar. n-ci qalıq funksional sıra (1). X € D-nin bütün dəyərləri üçün əlaqə saxlanılır və buna görə də. yəni, konvergent sıranın qalan Rn(x) n oo kimi sıfıra meyl edir, x 6 D. Vahid yaxınlaşma Bütün konvergent funksiyalar sıraları arasında vahid konvergent sıra deyilən mühüm rol oynayır. D çoxluğuna yaxınlaşan, cəmi S(x)-ə bərabər olan funksional sıra verilsin. Onun n-ci qismən cəmini götürün.Tərif. Funksional silsilələr FUNKSİYONAL SERİYA Konvergensiya regionu Vahid yaxınlaşma Veyerştrass kriteriyası Vahid yaxınlaşan funksional silsilənin xassəsinin PS1 çoxluğunda vahid yaxınlaşması deyilir. fI. Şərh. Burada N ədədi bütün x ∈ 10 üçün eynidir, yəni. z-dən asılı deyil, e ədədinin seçimindən asılıdır, ona görə də N = N(e) yazırıq. £ /n(®) funksional seriyasının ft çoxluğunda S(x) funksiyasına vahid yaxınlaşması çox vaxt aşağıdakı kimi işarələnir: Tərif. vahid yaxınlaşma f çoxluğundakı fn(x) silsiləsi məntiqi işarələrin köməyi ilə daha qısa yazıla bilər: Funksional silsilənin vahid yaxınlaşmasının mənasını həndəsi şəkildə izah edək. [a, 6] seqmentini ft çoxluğu kimi götürək və funksiyaların qrafiklərini çəkək. n > N və bütün a ədədləri üçün uyğun olan | bərabərsizliyi; G [a, b] və y = 5(g) + e (şək. 1). Nümunə 1 seqmentdə vahid şəkildə yaxınlaşır Bu sıra alternativdir, istənilən x € [-1,1] üçün Leybniz testinin şərtlərini ödəyir və buna görə də (-1,1] seqmentində yaxınlaşır. S(x) olsun onun cəmi, Sn (x) isə onun n-ci qismən məbləğ. Silsilənin qalan hissəsi mütləq qiymətdə onun birinci üzvünün mütləq qiymətini keçmir: və ona görə ki, hər hansı e götürək.Onda bərabərsizlik | olarsa edam olunacaq. Buradan tapırıq ki, n > \. Əgər ədəd götürsək (burada [a] a-dan çox olmayan ən böyük tam ədədi bildirir), onda bərabərsizlik | e bütün n > N nömrələri və bütün x € [-1,1) üçün tutulacaq. Bu o deməkdir ki, bu seriya [-1,1] seqmentində vahid şəkildə birləşir. I. D çoxluğunda yaxınlaşan hər bir funksional sıra 2-ci nümunədə bərabər yaxınlaşmır. Göstərək ki, sıra intervalda yaxınlaşır, lakin bərabər deyil. 4 Seriyanın n-ci qismən cəmi £n(*) hesablayaq. Bizdə Bu seriyanın seqmentdə və onun cəmində birləşdiyi yerdən S (x) - 5„ (x) fərqinin mütləq qiyməti (seriyanın qalan hissəsi) bərabərdirsə. Belə bir e ədədini götürək. Gəlin n-ə görə bərabərsizliyi həll edək, haradan (çünki və Inx-ə bölməkdə bərabərsizlik işarəsi tərsinə çevrilir). üçün bərabərsizlik davam edəcək. Buna görə də, x-dən asılı olmayan belə bir N(e) ədədi, seqmentdən olan bütün x üçün dərhal hər biri üçün bərabərsizlik yerinə yetirilir. , mövcud deyil. Bununla belə, 0 seqmenti daha kiçik bir seqmentlə əvəz edilərsə, onda sonuncuda bu seriya S0 funksiyasına bərabər şəkildə yaxınlaşacaqdır. Həqiqətən, üçün və buna görə də bütün x üçün birdən §3. Weierstrass meyarı Funksional silsilənin vahid yaxınlaşması üçün kifayət qədər meyar Veyerştras teoremi ilə verilmişdir. Teorem 1 (Weierstrass testi). Qoy Q çoxluğundan bütün x üçün funksional sıranın mütləq qiymətdə üzvləri müsbət hədli P=1 konvergent ədədi silsilənin müvafiq üzvlərindən çox olmasın, yəni bütün x ∈ Q üçün. Sonra funksional sıra ( 1) P çoxluğunda mütləq və bərabər yaxınlaşır. Və Tek, teoremin şərtinə görə, (1) sırasının şərtləri bütün Q çoxluğunda (3) şərtini ödədiyinə görə, müqayisə meyarı ilə 2 \fn(x)\ seriyası birləşir. hər hansı x ∈ H və nəticədə (1) seriyası mütləq P üzərində birləşir. (1) sıralarının vahid yaxınlaşmasını sübut edək. Müvafiq olaraq (1) və (2) sıralarının qismən cəmini Sn(x) və an ilə işarə edək. Bizdə hər hansı (ixtiyari kiçik) ədədi götürək e > 0. Onda (2) ədədi sıranın yaxınlaşması N = N(e) ədədinin mövcudluğunu nəzərdə tutur ki, nəticədə bütün n > N(e) ədədləri üçün -e olsun. ) və bütün x6n üçün, yəni. (1) seriyası P çoxluğuna bərabər şəkildə yaxınlaşır. Qeyd. Rəqəm seriyası (2) tez-tez funksional sıra (1) üçün böyükləşdirmə və ya majorant adlanır. Nümunə 1. Vahid yaxınlaşma üçün sıraları araşdırın. Bərabərsizlik hamı üçün keçərlidir. və hər kəs üçün. Nömrələr seriyası birləşir. Weierstrass sınağına görə, nəzərdən keçirilən funksional sıra bütün oxda mütləq və bərabər şəkildə birləşir. Misal 2. Vahid yaxınlaşma üçün silsilənin tədqiqi Sıranın şərtləri [-2,2|] seqmentində müəyyən edilmiş və davamlıdır. Hər hansı bir natural n üçün [-2,2) seqmentində olduğundan, beləliklə, bərabərsizlik yerinə yetirilir. Say sıraları yaxınlaşdığından, Weierstrass testinə görə, orijinal funksional sıra seqmentdə mütləq və bərabər birləşir. Şərh. Funksional sıra (1) ədədi majorant seriyası (2) olmadıqda, Piv dəstində vahid şəkildə yaxınlaşa bilər, yəni Weierstrass meyarı vahid yaxınlaşma üçün yalnız kifayət meyardır, lakin zəruri deyil. Misal. Yuxarıda göstərildiyi kimi (nümunə) sıra 1-1,1 intervalında bərabər birləşir]. Bununla belə, onun üçün (2) əsas konvergent ədədlər seriyası yoxdur. Həqiqətən, bütün natural ədədlər üçün n və bütün x ∈ [-1,1) üçün bərabərsizlik yerinə yetirilir və bərabərlik əldə edilir. Buna görə də, arzu olunan majorant seriyasının şərtləri (2) şərti şərti yerinə yetirməlidir, lakin ədədi sıra FUNKSİONAL SERİYA Konvergensiya regionu Vahid yaxınlaşma Weierstrass testi Vahid yaxınlaşan funksional sıraların xassələri ayrılır. Bu o deməkdir ki, £ op seriyası da ayrılacaq. Vahid yaxınlaşan funksiyalar sıralarının xassələri Vahid yaxınlaşan funksiyalar silsiləsi bir sıra mühüm xüsusiyyətlərə malikdir. Teorem 2. [a, b] seqmentində bərabər yaxınlaşan seriyanın bütün hədləri [a, 6] ilə məhdudlaşan eyni q(x) funksiyasına vurularsa, onda yaranan funksional silsilələr eyni şəkildə yaxınlaşacaq. £ fn(x) silsiləsi [a, b\] intervalında S(x) funksiyasına vahid şəkildə yaxınlaşsın və g(x) funksiyası məhdudlaşsın, yəni C > 0 sabiti var ki, By hər hansı e > 0 ədədi üçün seriyanın vahid yaxınlaşmasının tərifi elə N ədədi var ki, bütün n > N və bütün x ∈ [a, b] üçün bərabərsizlik 5n(ar) qismən cəmi olduğu halda qüvvədə qalacaq. nəzərdən keçirilən seriyadan. Buna görə də hər kəsə sahib olacağıq. silsilələr [a, b| üzərində vahid şəkildə birləşir funksiaya teorem 3. Funksional silsilənin bütün fn(x) həddləri kəsilməz olsun və sıra [a, b\ seqmentində vahid şəkildə yaxınlaşsın. Onda silsilənin S(x) cəmi bu intervalda davamlıdır. M [o, b] intervalını iki ixtiyari zr + Ax nöqtəsini götürək. Bu sıra [a, b] seqmentində vahid şəkildə yaxınlaşdığından, hər hansı e > 0 ədədi üçün N = N(e) ədədi var ki, bütün n > N üçün bərabərsizliklər 5n(x)-in qismən cəmi olduğu yerdə olsun. fn (x) seriyası. Bu qismən Sn(x) cəmləri [a, 6] intervalında [a, 6] üzərində kəsilməz olan sonlu sayda fn(x) funksiyalarının cəmi kimi fasiləsizdir. Buna görə də > N(e) saylı sabit ədəd və verilmiş e ədədi üçün 6 = 6(e) > 0 ədədi var ki, Ax bərabərsizliyi | formasını ödəyir: haradan. (1) və (2) bərabərsizliklərini nəzərə alaraq, | şərtini ödəyən Ax artımları üçün alırıq. Bu o deməkdir ki, Altı) cəmi x nöqtəsində davamlıdır. x [a, 6] seqmentinin ixtiyari nöqtəsi olduğundan buradan 5(x) |a, 6| üzərində kəsilməz olduğu belə çıxır. Şərh. Üzvləri [a, 6] intervalında fasiləsiz olan, lakin (a, 6]-da qeyri-bərabər yaxınlaşan funksional sıra cəmi kimi kəsikli funksiyaya malik ola bilər. Misal 1. |0,1 intervalında funksional sıraya nəzər salaq. ). Gəlin onun n-ci qismən cəmini hesablayaq. Buna görə də, seriyanın üzvləri onun üzərində kəsilməz olsa da, seqmentdə kəsiklidir. Sübut edilmiş teorem sayəsində bu sıra intervalda vahid yaxınlaşmır. Nümunə 2. Seriyanı nəzərdən keçirin Yuxarıda göstərildiyi kimi, bu sıra yaxınlaşır, sıra Weierstrass kriteriyasına uyğun olaraq vahid şəkildə yaxınlaşacaq, çünki 1 və ədədi sıra yaxınlaşır. Buna görə də istənilən x > 1 üçün bu silsilənin cəmi davamlıdır. Şərh. Funksiya Riemann funksiyası adlanır (bu funksiya ədədlər nəzəriyyəsində böyük rol oynayır). 4-cü teorem (funksional silsilənin müddətli inteqrasiyası haqqında). Seriyanın bütün fn(x) şərtləri kəsilməz olsun və sıralar [a, b] seqmentində bərabər şəkildə S(x) funksiyasına yaxınlaşsın. Onda aşağıdakı bərabərlik yerinə yetirilir.fn(x) funksiyalarının fasiləsizliyinə və verilmiş sıraların [a, 6] intervalında vahid yaxınlaşmasına görə onun cəmi 5(x) kəsimidir və buna görə də - üzərində inteqral oluna bilir. Fərqi nəzərdən keçirin [o, b] üzrə silsilənin vahid yaxınlaşmasından belə nəticə çıxır ki, istənilən e > 0 üçün N(e) > 0 ədədi var ki, bütün n > N(e) ədədləri üçün və bütün x € üçün [a, 6] bərabərsizlik saxlanılacaq Əgər fn(0) seriyası vahid konvergent deyilsə, o zaman, ümumiyyətlə, termin üzrə inteqral edilə bilməz, yəni 5-ci teorem (funksional silsilənin müddət üzrə diferensiasiyası haqqında) 00 konvergent silsiləsinin bütün hədlərinin davamlı törəmələri olsun və bu törəmələrdən ibarət silsilələr [a, b] seqmentində bərabər birləşsin.Onda istənilən nöqtədə bərabərlik doğrudur, yəni verilmiş sıra ola bilər. diferensiallaşdırılmış termin.M İstənilən iki nöqtəni götürək.Sonra 4-cü teoremdən asılı olaraq o-(x) funksiyası vahid yaxınlaşan sıraların cəmi kimi kəsilməzdir. davamlı funksiyalar. Beləliklə, bərabərliyi differensiallaşdıraraq, alırıq Təlimlər Bu funksional sıraların yaxınlaşma sahələrini tapın: Weierstrass testindən istifadə edərək, göstərilən intervallarda bu funksional sıraların vahid yaxınlaşmasını sübut edin:
Funksiya domendə müəyyən edilsin
Tərif.İfadə
çağırdı funksional yaxın.
Misal.
Bəzi dəyərlər üçün sıra yaxınlaşa bilər, digər dəyərlər üçün ayrıla bilər.
Misal.
Seriyanın yaxınlaşma sahəsini tapın. Bu sıra dəyərlər üçün müəyyən edilmişdir
Əgər belədirsə, silsilənin yaxınlaşması üçün lazımi meyar təmin olunmadığı üçün sıra ayrılır; sıra fərqli olarsa; əgər sonsuz azalan həndəsi irəliləyişdir.
Bu silsilənin konvergent sıra ilə müqayisəsi tədqiq olunan silsilənin yaxınlaşma bölgəsini verir.
Funksional silsilənin dəyərləri ilə ədədi sıra əldə edilir
Əgər ədəd seriyası üçün yaxınlaşırsa, onda nöqtə çağırılır yaxınlaşma nöqtəsi funksional sıra.
Sıranın bütün yaxınlaşma nöqtələrinin çoxluğu onun yaxınlaşma bölgəsini təşkil edir. Konvergensiya sahəsi adətən oxun müəyyən bir intervalıdır.
Əgər hər bir nöqtədə ədəd seriyası yaxınlaşırsa, onda funksional sıra çağırılır yaxınlaşmaərazisində.
Funksional sıraların cəmi sıranın yaxınlaşma bölgəsində müəyyən edilmiş dəyişənin bəzi funksiyasıdır.
Əgər xassələr seriyanın üzvü kimi tanınırsa, funksiyalar hansı xassələrə malikdir, yəni.
Davamlılıq haqqında nəticə çıxarmaq üçün funksiyaların davamlılığı kifayət deyil.
Bir sıra fasiləsiz funksiyaların davamlı funksiyaya yaxınlaşması təmin edilir əlavə şərt funksional silsilənin yaxınlaşmasının mühüm bir xüsusiyyətini ifadə edir.
Tərif. Funksional sıra, bu seriyanın qismən cəmlərinin həddi olduqda, domendə konvergent adlanır, yəni.
Tərif. Funksional sıra bölgədə vahid konvergent adlanır, əgər hər hansı müsbət üçün elə bir ədəd varsa ki, bərabərsizlik hamı üçün keçərlidir.
Vahid yaxınlaşmanın həndəsi mənası
Əgər funksiyanın qrafikini əlaqə ilə müəyyən edilmiş zolaqla əhatə etsək, onda qrafiklər hamısı kifayət qədər böyük dəyərdən başlayaraq funksiyalar, bütövlükdə limit funksiyasının qrafikini əhatə edən bu “- zolaqda” yerləşir.
Vahid yaxınlaşan silsilənin xassələri .
1. Fasiləsiz funksiyalardan ibarət bəzi regionda vahid yaxınlaşan sıraların cəmi bu bölgədə davamlı funksiyadır.
2. Belə bir sıra terminlərə görə fərqləndirilə bilər
3. Seriyalar terminlər üzrə inteqrasiya oluna bilər
Funksional silsilənin vahid yaxınlaşma olub-olmadığını müəyyən etmək üçün Weierstrass kifayət qədər yaxınlaşma meyarından istifadə etməliyik.
Tərif. Funksional sıra deyilir üstünlük təşkil edirdi dəyişikliyin bəzi bölgəsində, əgər bərabərsizliklər bütün bu region üçün uyğun olan müsbət şərtlərə malik belə bir konvergent ədədi sıra varsa.
Weierstrass işarəsi(funksional sıraların vahid yaxınlaşması).
Funksional diapazon vahid şəkildə birləşir bu sahədə üstünlük təşkil edirsə, yaxınlaşma sahəsində.
Başqa sözlə desək, əgər hansısa sahədə funksiyalar mütləq qiymətdə müvafiq müsbət ədədləri aşmırsa və ədədlər seriyası yaxınlaşırsa, bu sahədə funksional silsilələr vahid şəkildə yaxınlaşır.
Misal. Funksional silsilənin vahid yaxınlaşmasını sübut edin.
Həll. . Əvəz edək ümumi üzv bu seriyanın ədədi sıranın ümumi üzvü tərəfindən, lakin mütləq dəyərdə seriyanın hər bir üzvünü üstələyir. Bunun üçün seriyanın ümumi müddətinin hansı zaman maksimum olacağını müəyyən etmək lazımdır.
Alınan ədədi sıra yaxınlaşır, bu o deməkdir ki, funksional sıralar Weierstrass meyarına uyğun olaraq bərabər birləşir.
Misal. Silsilənin cəmini tapın.
Bir sıra cəmini tapmaq üçün istifadə edirik məşhur formula həndəsi irəliləyişin cəmi üçün
Formula (1) sol və sağ hissələrini fərqləndirərək, ardıcıl olaraq əldə edirik
Hesablanacaq məbləğdə birinci və ikinci törəmələrə mütənasib şərtləri ayırırıq:
Törəmələri hesablayaq:
Güc seriyası.
Funksional sıralar arasında güc və triqonometrik sıralar sinfi var.
Tərif. Formanın funksional seriyası
güclərdə güc adlanır. İfadələr sabit ədədlərdir.
Əgər sıra gücdə bir güc seriyasıdır.
Qüvvət seriyasının yaxınlaşma sahəsi. Habil teoremi.
Teorem. Qüvvət seriyası bir nöqtədə yaxınlaşırsa, onda o, birləşir və üstəlik, mütləq dəyərindən daha kiçik olan hər hansı bir dəyər üçün, yəni və ya intervalda.
Sübut.
Radin yaxınlaşması səbəbindən onun ümumi termini sıfıra meyl etməlidir, buna görə də bu seriyanın bütün şərtləri bərabər məhduddur: sabit müsbət ədəd var ki, hər hansı bir bərabərsizlik təmin edilir. nöqtə
Luxov Yu.P. Ali riyaziyyatdan mühazirələrin xülasəsi. 42 nömrəli mühazirə 5
Mühazirə 42
MÖVZU: funksional sıralar
Plan.
- funksional sıralar. Konvergensiya sahəsi.
- Vahid yaxınlaşma. Weierstrass işarəsi.
- Vahid yaxınlaşan sıraların xassələri: silsilənin cəminin davamlılığı, hədlər üzrə inteqrasiya və diferensiallaşma.
- Güc seriyası. Habil teoremi. Qüvvət seriyasının yaxınlaşma sahəsi. yaxınlaşma radiusu.
- Qüvvət sıralarının əsas xassələri: cəminin vahid yaxınlaşması, davamlılığı və sonsuz diferensiallığı. Qüvvət sıralarının terminoloji inteqrasiyası və diferensiallaşdırılması.
funksional sıralar. Konvergensiya sahəsi
Tərif 40.1. Xüsusiyyətlərin sonsuz cəmi
u 1 (x ) + u 2 (x ) +…+ u n (x ) +… , (40.1)
burada u n (x) = f (x, n), deyilir funksional diapazon.
Müəyyən bir rəqəmsal dəyər təyin etsəniz X , sıra (40.1) ədədi sıraya çevriləcək və qiymət seçimindən asılı olaraq X belə bir sıra yaxınlaşa və ya ayrıla bilər. Yalnız konvergent sıralar praktiki dəyərə malikdir, ona görə də həmin dəyərləri müəyyən etmək vacibdir X , bunun üçün funksional sıra yaxınlaşan ədədi sıraya çevrilir.
Tərif 40.2. Çoxlu dəyərlər X , (40.1) funksional sıraya yaxınlaşan ədədi sıra əldə edəni əvəz etməyə deyilir.yaxınlaşma bölgəsifunksional sıra.
Tərif 40.3. s(x) funksiyası seriyanın yaxınlaşma diapazonunda müəyyən edilir, hər bir dəyər üçün X yaxınlaşma bölgəsindən verilən dəyər üçün (40.1)-dən alınan müvafiq ədədi sıraların cəminə bərabərdir. x adlanır funksional sıraların cəmi.
Misal. Gəlin yaxınlaşma bölgəsini və funksional sıraların cəmini tapaq
1 + x + x ² +…+ x n +…
Nə vaxt | x | ≥ 1, buna görə də müvafiq ədədi sıra bir-birindən ayrılır. Əgər
| x | < 1, рассматриваемый ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вычисляемую по формуле:
Buna görə də seriyanın yaxınlaşma diapazonu (-1, 1) intervalıdır və onun cəmi göstərilən formaya malikdir.
Şərh . Ədədi sıralarda olduğu kimi, funksional seriyanın qismən cəmi anlayışını təqdim edə bilərik:
s n \u003d 1 + x + x ² + ... + x n
və seriyanın qalan hissəsi: r n = s s n .
Funksional silsilənin vahid yaxınlaşması
Əvvəlcə ədədi ardıcıllığın vahid yaxınlaşması anlayışını müəyyən edək.
Tərif 40.4. Funksiya ardıcıllığı f n (x ) adlanır funksiyaya bərabər şəkildə yaxınlaşır X dəstində f əgər və
Qeyd 1. Biz funksional ardıcıllığın adi yaxınlaşmasını və vahid yaxınlaşmanı işarə edəcəyik - .
Qeyd 2 . Gəlin vahid yaxınlaşma ilə adi yaxınlaşma arasındakı əsas fərqi bir daha qeyd edək: adi yaxınlaşma vəziyyətində seçilmiş ε dəyəri üçün hər biri üçün mövcuddur. nömrəniz N hansı üçün n > N aşağıdakı bərabərsizlik var:
Bu vəziyyətdə, müəyyən bir ε üçün ümumi ədəd olduğu ortaya çıxa bilər N, hər kəs üçün bu bərabərsizliyin yerinə yetirilməsini təmin etmək X , qeyri-mümkün. Vahid yaxınlaşma halında belə bir ədəd Bütün x üçün ümumi olan N mövcuddur.
İndi funksional sıranın vahid yaxınlaşması anlayışını müəyyən edək. Hər bir sıra onun qismən cəmlərinin ardıcıllığına uyğun gəldiyi üçün sıranın vahid yaxınlaşması bu ardıcıllığın vahid yaxınlaşması baxımından müəyyən edilir:
Tərif 40.5. Funksional sıra deyilirvahid konvergent X dəstində, əgər X-də onun qismən cəmlərinin ardıcıllığı vahid şəkildə yaxınlaşır.
Weierstrass işarəsi
Teorem 40.1. Əgər ədəd seriyası hamı üçün və hamı üçün birləşirsə n = 1, 2,…, sonra serial setdə mütləq və bərabər şəkildə birləşir X.
Sübut.
İstənilən ε > 0 c üçün belə bir nömrə var N, buna görə
Qalanlar üçün r n sıra, təxmin
Buna görə də silsilələr vahid şəkildə yaxınlaşır.
Şərh. Teorem 40.1-in şərtlərinə cavab verən sıra sıralarının seçilməsi proseduru adətən adlanır ixtisaslaşma , və bu seriyanın özü mayor Bu funksional diapazon üçün.
Misal. Funksional seriyalar üçün istənilən dəyər üçün əsas X konvergent müsbət sıradır. Buna görə də, orijinal sıra bərabər şəkildə (-∞, +∞) üzərində birləşir.
Vahid yaxınlaşan sıraların xassələri
Teorem 40.2. Əgər u n (x ) funksiyaları da davamlıdır və silsilələr bərabər şəkildə yaxınlaşır X, onda onun cəmi s (x) nöqtəsində də davamlıdır x 0.
Sübut.
Biz ε > 0 seçirik. Deməli, bir ədəd mövcuddur n 0 ki
- sonlu sayda fasiləsiz funksiyaların cəmi, belə kinöqtədə davamlıdır x 0. Deməli, δ > 0 belə mövcuddur Sonra alırıq:
Yəni s (x) funksiyası x \u003d x 0 üçün davamlıdır.
Teorem 40.3. Funksiyalar u n (x ) olsun intervalında davamlıdır [ a , b ] və sıra bu seqmentdə vahid şəkildə birləşir. Sonra sıra eyni şəkildə [ üzərində birləşir. a , b ] və (40.2)
(yəni teorem şərtləri ilə sıralar həd-həd inteqral edilə bilər).
Sübut.
40.2 teoreminə görə, funksiya s(x) = [a, b üzərində davamlıdır ] və buna görə də onun üzərində inteqral olur, yəni bərabərliyin (40.2) sol tərəfindəki inteqral mövcuddur. Göstərək ki, sıra funksiyaya vahid şəkildə yaxınlaşır
İşarə et
Onda istənilən ε üçün bir ədəd var N , hansı n > N üçün
Beləliklə, silsilələr vahid şəkildə yaxınlaşır və onun cəmi σ-ə bərabərdir ( x ) = .
Teorem sübut edilmişdir.
Teorem 40.4. Funksiyalar u n (x ) olsun intervalında davamlı diferensiallanır [ a , b ] və onların törəmələrindən ibarət sıra:
(40.3)
bərabər şəkildə birləşir [ a , b ]. Sonra, sıra ən azı bir nöqtədə yaxınlaşırsa, o, bütün [[ a , b ], onun cəmi s (x )= davamlı diferensiallanan funksiyadır və
(seriya terminə görə fərqləndirilə bilər).
Sübut.
σ( funksiyasını təyin edək. X ) Necə. Teorem 40.3-ə əsasən, (40.3) seriyası terminlər üzrə inteqrasiya oluna bilər:
Bu bərabərliyin sağ tərəfindəki silsilələr eyni şəkildə [ üzərində birləşir. a , b ] Teorem 40.3 ilə. Amma ədədi silsilələr teoremin şərti ilə yaxınlaşır, buna görə də sıra eyni şəkildə yaxınlaşır. Sonra funksiya σ( t ) [ üzərindəki fasiləsiz funksiyaların vahid yaxınlaşan sıralarının cəmidir. a , b ] və buna görə də özü davamlıdır. Onda funksiya [-də davamlı olaraq diferensiallaşdırılır. a , b ], və sübut etmək üçün tələb olunduğu kimi.
Tərif 41.1. növbəti güc formanın funksional seriyası adlanır
(41.1)
Şərh. Əvəz etməklə x x 0 = t (41.1) seriyası formaya endirilə bilər, ona görə də formanın seriyası üçün dərəcə sıralarının bütün xassələrini sübut etmək kifayətdir.
(41.2)
Teorem 41.1 (Abelin 1-ci teoremi).Qüvvət seriyası (41.2) -də birləşirsə x \u003d x 0, sonra istənilən x üçün: | x |< | x 0 | (41.2) seriyası mütləq birləşir. Əgər (41.2) seriyası fərqli olarsa x \u003d x 0, sonra hər hansı biri üçün ayrılır x : | x | > | x 0 |.
Sübut.
Əgər sıra yaxınlaşırsa, onda bir sabit var c > 0:
Buna görə də, seriyası üçün isə | x |<| x 0 | birləşir, çünki o, sonsuz azalan həndəsi irəliləyişin cəmidir. Beləliklə, | üçün seriya x |<| x 0 | tamamilə birləşir.
Əgər (41.2) sırasının fərqinə vardığı məlumdursa x = x 0 , onda | üçün birləşə bilməz x | > | x 0 | , çünki əvvəllər sübut ediləndən nəticə çıxaracaq ki, o da nöqtədə birləşir x 0.
Beləliklə, ədədlərin ən böyüyünü tapsanız x 0 > 0 belə ki, (41.2) üçün birləşir x \u003d x 0, onda bu silsilənin yaxınlaşma bölgəsi, Abel teoremindən aşağıdakı kimi, interval olacaqdır (- x 0 , x 0 ), ola bilsin ki, bir və ya hər iki sərhəd daxil olmaqla.
Tərif 41.2. R ≥ 0 ədədi çağırılır yaxınlaşma radiusugüc seriyası (41.2) əgər bu sıra yaxınlaşır, lakin ayrılırsa. interval (- R, R) adlanır yaxınlaşma intervalı sıra (41.2).
Nümunələr.
- Seriyanın mütləq yaxınlaşmasını öyrənmək üçün d'Alember testindən istifadə edirik: . Buna görə də sıra yalnız o zaman yaxınlaşır X = 0 və onun yaxınlaşma radiusu 0-dır: R = 0.
- Eyni d'Alembert testindən istifadə edərək, seriyanın hər hansı biri üçün birləşdiyini göstərmək olar x, yəni
- D'Alembert testinə əsaslanan seriyalar üçün alırıq:
Buna görə də 1 üçün< x < 1 ряд сходится, при
x< -1 и x > 1 fərqlidir. At X = 1 harmonik sıra alırıq, məlum olduğu kimi, ayrılır və nə vaxt X = -1 sıra Leybniz kriteriyasına uyğun olaraq şərti yaxınlaşır. Beləliklə, nəzərdən keçirilən sıraların yaxınlaşma radiusu R = 1, yaxınlaşma intervalı isə [-1, 1).
Qüvvət sıralarının yaxınlaşma radiusunu təyin etmək üçün düsturlar.
- d'Alember düsturu.
Qüvvət seriyasını nəzərdən keçirin və ona d'Alembert testini tətbiq edin: seriyanın yaxınlaşması üçün bu lazımdır.Əgər mövcuddursa, onda yaxınlaşma sahəsi bərabərsizliklə müəyyən edilir, yəni.
- (41.3)
- d'Alember düsturuyaxınlaşma radiusunu hesablamaq üçün.
- Koşi-Hadamard düsturu.
Radikal Koşi testindən və oxşar şəkildə mülahizələrdən istifadə edərək, əldə edirik ki, güc seriyasının yaxınlaşma bölgəsini bərabərsizliyin həlli toplusu kimi təyin etmək mümkündür, bu limit mövcud olduqda və müvafiq olaraq daha bir düstur tapmaq olar. yaxınlaşma radiusu üçün:
(41.4)
- Koşi-Hadamard düsturu.
Güc sıralarının xassələri.
Teorem 41.2 (Abelin 2-ci teoremi).Əgər R sıraların yaxınlaşma radiusu (41.2) və bu sıra yaxınlaşır x = R , sonra o, intervalda bərabər birləşir (- R, R).
Sübut.
Müsbət işarəli silsilələr Teorem 41.1 ilə yaxınlaşır. Buna görə də (41.2) silsiləsi 40.1 teoreminə uyğun olaraq [-ρ, ρ] intervalında bərabər birləşir. ρ seçimindən belə çıxır ki, vahid yaxınlaşma intervalı (- R, R ), sübut edilməli idi.
Nəticə 1 . Tamamilə yaxınlaşma intervalında olan hər hansı bir seqmentdə (41.2) silsilənin cəmi davamlı funksiyadır.
Sübut.
(41.2) seriyasının şərtləri fasiləsiz funksiyalardır və sıralar nəzərdən keçirilən intervalda bərabər birləşir. Onda onun cəminin davamlılığı 40.2 teoremindən irəli gəlir.
Nəticə 2. Əgər α, β inteqrasiya hədləri qüdrət sıralarının yaxınlaşma intervalındadırsa, o zaman sıraların cəminin inteqralı silsilənin şərtlərinin inteqrallarının cəminə bərabərdir:
(41.5)
Bu müddəanın sübutu 40.3 teoremindən irəli gəlir.
Teorem 41.3. Əgər (41.2) seriyası yaxınlaşma intervalına malikdirsə (- R , R ), sonra sıra
φ (x) = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x ² +…+ na n x n- 1 +…, (41.6)
(41.2) seriyasının müddət üzrə diferensiallaşdırılması yolu ilə əldə edilən, eyni yaxınlaşma intervalına malikdir (- R, R). Harada
| üçün φ΄ (х) = s΄ (x). x |< R , (41.7)
yəni yaxınlaşma intervalı daxilində dərəcə sırasının cəminin törəməsi onun həddən-hədyə diferensiallaşdırılması nəticəsində əldə edilən sıraların cəminə bərabərdir.
Sübut.
ρ: 0 seçirik< ρ < R и ζ: ρ < ζ < R . Sonra sıra yaxınlaşır, buna görə də, yəni əgər| x | ≤ ρ, onda
Beləliklə, (41.6) seriyanın şərtləri d'Alembert testinə uyğun olaraq birləşən müsbət işarə seriyasının şərtlərindən mütləq dəyər baxımından daha azdır:
yəni (41.6) seriyası üçün majorantdır. Buna görə də (41.6) silsiləsi [-ρ, ρ] üzərində bərabər birləşir. Deməli, 40.4 teoreminə görə (41.7) bərabərlik doğrudur. ρ seçimindən belə çıxır ki, (41.6) sıra intervalın istənilən daxili nöqtəsində birləşir (- R, R).
(41.6) sırasının bu intervaldan kənarda ayrıldığını sübut edək. Həqiqətən, əgər birləşdi x1 > R , sonra onu (0, x 2), R< x 2 < x 1 , (41.2) seriyasının nöqtədə birləşdiyini alacağıq x 2 , teoremin şərti ilə ziddiyyət təşkil edir. Beləliklə, teorem tamamilə sübut edilmişdir.
Şərh . Sıra (41.6), öz növbəsində, termin üzrə diferensiallaşdırıla bilər və bu əməliyyat istənilən qədər yerinə yetirilə bilər.
Nəticə: güc seriyası intervalda birləşirsə (- R, R ), onda onun cəmi, yaxınlaşma intervalı daxilində hər hansı düzənli törəmələrə malik olan funksiyadır ki, onların hər biri müvafiq sayda dəfə müddətlər üzrə diferensiallaşdırmadan istifadə edərək orijinaldan alınan sıraların cəmidir; hər hansı bir sıralı törəmələr seriyası üçün yaxınlaşma intervalı (- R, R).
KSPU, informatika və ali riyaziyyat kafedrası
Funksional diapazon formal yazılı ifadə adlanır
u1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + ... + u n ( x) + ... , (1)
Harada u1 (x), u 2 (x), u 3 (x), ..., u n ( x), ... - müstəqil dəyişəndən funksiyaların ardıcıllığı x.
Siqma ilə funksional seriyanın qısaldılmış qeydi:.
Funksional sıralara misal ola bilər :
(2)
(3)
Müstəqil dəyişənin verilməsi x bəzi dəyər x0 və onu funksional sıra (1) ilə əvəz edərək ədədi sıra əldə edirik
u1 (x 0 ) + u 2 (x 0 ) + u 3 (x 0 ) + ... + u n ( x 0 ) + ...
Alınan ədədi sıra yaxınlaşırsa, funksional sıra (1) üçün yaxınlaşır. x = x0 ; divergessə, (1) seriyası deyilən nöqtədə ayrılır x = x0 .
Nümunə 1. Funksional silsilənin yaxınlaşmasını tədqiq edin(2) qiymətlərlə x= 1 və x = - 1
.
Həll. At x= 1 ədəd seriyasını alırıq
Leybniz testinə görə birləşir. At x= - 1 ədəd seriyası alırıq
,
divergent harmonik seriyanın hasili kimi – 1 ilə ayrılan. Beləliklə, (2) sıra birləşir. x= 1 və nöqtədə fərqlənir x = - 1 .
Funksional seriyanın (1) yaxınlaşması üçün belə bir sınaq onun üzvlərinin müəyyən edilməsi sahəsindən müstəqil dəyişənin bütün qiymətlərinə münasibətdə aparılarsa, bu sahənin nöqtələri iki dəstə bölünəcəkdir: dəyərlərlə x onlardan birində götürüldükdə (1) sıra yaxınlaşır, digərində isə ayrılır.
Funksional sıraların birləşdiyi müstəqil dəyişənin qiymətlər dəsti onun adlanır yaxınlaşma bölgəsi .
Nümunə 2. Funksional silsilənin yaxınlaşma sahəsini tapın
Həll. Silsilənin üzvləri bütün say xəttində müəyyən edilir və məxrəclə həndəsi irəliləyiş əmələ gətirir q= günah x. Beləliklə, seriya birləşir
və əgər ayrılır
(dəyərlər mümkün deyil). Ancaq dəyərlər və digər dəyərlər üçün x. Beləliklə, sıra bütün dəyərlər üçün birləşir x, istisna olmaqla. Onun yaxınlaşma bölgəsi, bu nöqtələr istisna olmaqla, bütün say xəttidir.
Misal 3. Funksional silsilənin yaxınlaşma bölgəsini tapın
Həll. Silsilənin şərtləri məxrəcli həndəsi irəliləyiş əmələ gətirir q=ln x. Buna görə də seriyalar əgər , və ya , haradan birləşir. Bu seriyanın yaxınlaşma bölgəsidir.
Nümunə 4. Funksional silsilənin yaxınlaşmasını tədqiq edin
Həll. Gəlin ixtiyari bir dəyər götürək. Bu dəyərlə bir sıra sıra alırıq
(*)
Onun ümumi termininin həddini tapın
Nəticə etibarı ilə, (*) sıra ixtiyari seçilmiş üçün ayrılır, yəni. istənilən dəyər üçün x. Onun yaxınlaşma sahəsi boş çoxluqdur.
Funksional silsilənin vahid yaxınlaşması və onun xassələri
Gəlin konsepsiyaya keçək funksional sıraların vahid yaxınlaşması . Qoy s(x) bu silsilənin cəmidir və sn ( x) - məbləğ n bu seriyanın ilk üzvləri. Funksional diapazon u1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + ... + u n ( x) + ... intervalında vahid konvergent adlanır [ a, b] , əgər hər hansı ixtiyari kiçik ədəd üçün ε > 0 belə bir nömrə var N, bu hamı üçün n ≥ N bərabərsizlik təmin ediləcək
|s(x) − s n ( x)| < ε
hər kəs üçün x seqmentdən [ a, b] .
Yuxarıdakı xassə həndəsi şəkildə aşağıdakı kimi təsvir edilə bilər.
Funksiyanın qrafikini nəzərdən keçirək y = s(x) . Bu əyrinin ətrafında eni 2 olan zolaq düzəldirik. ε n, yəni əyriləri qururuq y = s(x) + ε n Və y = s(x) − ε n(aşağıdakı şəkildə yaşıl rəngdədirlər).
Sonra hər hansı biri üçün ε n funksiya qrafiki sn ( x) baxılan qrupda tamamilə yalan olacaq. Eyni band bütün sonrakı qismən məbləğlərin qrafiklərini ehtiva edəcəkdir.
Yuxarıda təsvir edilən xüsusiyyətə malik olmayan hər hansı bir konvergent funksional sıra qeyri-bərabər konvergentdir.
Vahid yaxınlaşan funksional sıraların daha bir xassəsinə nəzər salın:
müəyyən intervalda bərabər birləşən bir sıra fasiləsiz funksiyaların cəmi [ a, b] , bu seqmentdə davamlı olan funksiya var.
Misal 5 Funksional silsilənin cəminin davamlı olub olmadığını müəyyən edin
Həll. Gəlin cəmini tapaq n bu seriyanın ilk üzvləri:
Əgər x> 0, onda
,
Əgər x < 0 , то
Əgər x= 0, onda
Və buna görə də .
Tədqiqatımız göstərdi ki, bu seriyanın cəmi kəsikli funksiyadır. Onun qrafiki aşağıdakı şəkildə göstərilmişdir.
Funksional sıraların vahid yaxınlaşması üçün Weierstrass testi
Konsept vasitəsilə Weierstrass meyarına yaxınlaşaq funksional seriyaların əksəriyyəti . Funksional diapazon
u1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + ... + u n ( x) + ...