Müstəviyə perpendikulyar xətt üzrə teorem. Dərsin xülasəsi "müstəviyə perpendikulyar xətt üzrə teorem" Müstəviyə perpendikulyar xətt üzrə teorem oxuyur.
1-ci bəndin 15-18-ci bəndlərini təkrarlayın, bütün xassələr və teoremlər dəftərinizə yazılır, 18-ci bəndi öyrənin, müstəviyə perpendikulyar xətt haqqında teoremi dəftərinizə yazın.
Fəzada iki düz xətt, aralarındakı bucaq 90o olarsa, perpendikulyar adlanır.
Perpendikulyar xətlər kəsişə bilər və əyri ola bilər. Lemma. İki paralel xəttdən biri üçüncü xəttə perpendikulyardırsa, digər xətt bu xəttə perpendikulyardır. Tərif. Müstəvidə yerləşən hər hansı bir xəttə perpendikulyar olan xətt müstəviyə perpendikulyar adlanır. Onlar da deyirlər ki, müstəvi a xəttinə perpendikulyardır. |
|
| Əgər a xətti müstəviyə perpendikulyardırsa, o, açıq şəkildə bu müstəvini kəsir. Əslində, a xətti müstəvi ilə kəsişməsəydi, o zaman bu müstəvidə yatar və ya ona paralel olardı. Amma hər iki halda müstəvidə a xəttinə perpendikulyar olmayan xətlər, məsələn, ona paralel xətlər olacaq ki, bu mümkün deyil. Bu o deməkdir ki, a düz xətti müstəvi ilə kəsişir. |
Xətlərin paralelliyi və onların müstəviyə perpendikulyarlığı arasında əlaqə.
Xəttin və təyyarənin perpendikulyarlığının əlaməti.
Qeydlər.
Kosmosun hər hansı bir nöqtəsindən müəyyən bir xəttə perpendikulyar olan bir müstəvi keçir və üstəlik, yeganədir. Kosmosun istənilən nöqtəsindən verilmiş müstəviyə perpendikulyar düz xətt keçir və yalnız bir. Əgər iki müstəvi bir xəttə perpendikulyardırsa, deməli paraleldirlər.
Sualların cavablarını öyrənin:
Kosmosda perpendikulyar xətlər kəsişə bilər və kəsişə bilər. (Bəli, məsələn, kub.) Əgər iki paralel xəttdən biri üçüncü xəttə perpendikulyardırsa, digər xətt bu xəttə paraleldir. (Xeyr, perpendikulyar.) Bu müstəvidə yerləşən hər hansı bir xəttə perpendikulyar olan xətt müstəviyə perpendikulyar adlanır. (Xeyr, çünki şərtlə xətlər bu müstəvidə uzana bilər.) Əgər iki paralel xəttdən biri müstəviyə perpendikulyardırsa, digər xətt müstəviyə paraleldir. (Xeyr, perpendikulyar.) Əgər bir xətt müstəvidə yerləşən kəsişən iki xəttə perpendikulyardırsa, o zaman bu müstəviyə perpendikulyardır. (Bəli, kriteriyaya görə.) Əgər xətt müstəviyə perpendikulyardırsa, o zaman bu müstəvidə uzanan üçbucağın iki tərəfinə perpendikulyardır. (Bəli.) Əgər xətt müstəviyə perpendikulyardırsa, o zaman kvadratın iki tərəfinə perpendikulyardır. (Yox.)
ABCD tetraedrində (Şəkil 1) BCD = ACD =90° Şəkildə AB, AC, BC kənarlarının CD-yə perpendikulyar olması doğrudurmu? (Bəli.),
Verilmişdir: ∆ ABC, VM AB, VM BC, D AC.
Simmetriya nədir. Coğrafiyada simmetriya. Geologiyada simmetriya. Təbii obyektlər. Simmetrik paylanma nümunələri. Simmetriyanın növləri. Silindr simmetriyası. Simmetriya xarici forma kristal. Biologiyada simmetriya. Diskret simmetriya. Təbiətdəki simmetriya. Simmetriya təbiətin əsas xüsusiyyətidir. Fizikada simmetriya. Simmetrik fiqurlar. İnsanlarda, bir çox heyvan və bitkilərdə ikitərəfli simmetriya var.
“Xəttin və müstəvinin perpendikulyarlıq şərti” - Müstəviyə perpendikulyar olan xətt haqqında teorem. Düz xətt və müstəvi arasındakı bucaq. Birbaşa MA və MS. Sübut edək ki, a xətti ixtiyari m xəttinə perpendikulyardır. Mailin xüsusiyyətləri. İki paralel xətt haqqında teorem. Paralellik arasında əlaqə quran teoremlər. Düz xətti a ASM müstəvisinə perpendikulyardır. Üç perpendikulyar teoremi. Tikinti planı. Bir müstəviyə perpendikulyar olan iki xətt haqqında teorem.
“Bölmələrin qurulması üsulları” - Bölmələrin qurulması bacarıqlarının formalaşdırılması. Memo. Paralelepipedin kəsiklərinin qurulmasının dörd halını nəzərdən keçirək. Kəsmə təyyarəsi. Daxili dizayn üsulu. Çoxüzlülərin bölmələrinin qurulması. İz kəsişmə müstəvisi ilə polihedronun hər hansı üzünün müstəvisinin kəsişməsinin düz xəttidir. Paralelepipedin altı üzü var. Tetraedrin hissələrini qurun. İzləmə üsulu. Disklərlə işləmək.
"Stereometriya aksiomlarından nəticələr" - Kubun elementləri. Təyyarə. Düz xətt çəkin. Nöqtə hansı təyyarələrə aiddir? Slaydlar həndəsə. Təyyarələrin kəsişmə xəttini tapın. Həll. Fərqli təyyarələr. Planimetriyanın aksiomaları. Müstəqil iş. Bəyanatlar. Bir kub şəklini qurun. Planimetriya. Təyyarənin mövcudluğu. Təyyarələr. Sübut. Bir nöqtədə kəsişən düz xətlər. Stereometriyanın aksiomaları və onlardan bəzi nəticələr.
“Dihedral bucaqların təyini” - Paralelepipedin üzləri. Üç perpendikulyar teoremi harada görə bilərsiniz. Tapşırıq. Gəlin bir şüa ataq. Təyyarə M. Kənardakı nöqtə ixtiyari ola bilər. Düz xətt a və iki yarım müstəvidən əmələ gələn fiqur. Piramidalarda dihedral bucaqlar. Perpendikulyar, oblik və proyeksiya. K nöqtəsi. Düz prizmanın yan kənarındakı bucaq. Tərif və xassələri. Romb. Seqmentin sonları. Üçbucaqlı bucağın xassəsi. Perpendikulyar müstəvilər.
"Parallelepiped" - "Zalsburq paralelepipedi". Xassələri öyrənmək həndəsi fiqurlar cəbrdən istifadə etməklə. Paralelepipeddə tetraedr yazıla bilər. Paralelepiped. Düzbucaqlı paralelepiped. Düzbucaqlı paralelepipedin diaqonallarının xassələri. Həndəsə inkişafı. Düzgün paralelepipedin diaqonalları düsturlardan istifadə etməklə hesablanır. Paralelepiped paketi açıldıqda belə görünür. Paralelepiped diaqonalının ortasına yaxın simmetrikdir.
“Müstəviyə perpendikulyar xətt üzrə teorem” mövzusunda mühazirə
Onları xatırlayaq: Birinci teorem Xəttin və müstəvinin perpendikulyarlığını yoxlayınƏgər bir xətt müstəvidə yerləşən kəsişən iki xəttə perpendikulyardırsa, o zaman bu müstəviyə perpendikulyardır.
Paralel xətlər haqqında iki teorem isə birbaşa teoremdir. Əgər iki paralel xəttdən biri müstəviyə perpendikulyardırsa, digər xətt də bu müstəviyə perpendikulyardır.
VƏ tərs teorem. Əgər iki xətt müstəviyə perpendikulyardırsa, deməli paraleldirlər. Bu teoremlərin sübutunu artıq müzakirə etdik.
Ekrandakı mətn:
Xəttin və təyyarənin perpendikulyarlığının əlaməti. Əgər bir xətt müstəvidə yerləşən kəsişən iki xəttə perpendikulyardırsa, o zaman bu müstəviyə perpendikulyardır.
Ekrana mətn əlavə olunur:
Teorem. Əgər iki paralel xəttdən biri müstəviyə perpendikulyardırsa, digər xətt də bu müstəviyə perpendikulyardır.
Ekrana mətn əlavə olunur:
Əks teorem. Əgər iki xətt müstəviyə perpendikulyardırsa, deməli paraleldirlər.
Tapşırıq.
Sübut edin ki, fəzanın istənilən nöqtəsindən verilmiş xəttə perpendikulyar müstəvi keçir.
Həll etmək üçün a düz xəttini və fəzada ixtiyari nöqtəni — M nöqtəsini nəzərdən keçirək. M nöqtəsindən keçən və a düz xəttinə perpendikulyar olan müstəvi olduğunu sübut edək.
Bunu sübut etmək üçün a xəttini ehtiva edən iki α və β müstəvisini çəkək, çünki bu onların ümumi xəttidir, yəni a düz xətti onların kəsişmə xəttidir.
M nöqtəsindən β müstəvisində düz xətt çəkirikb xəttinə perpendikulyarA . qoy bu xətlər O nöqtəsində kəsilsin.
α müstəvisində düz xətt çəkirikilə O nöqtəsindən keçən və xəttə perpendikulyarA .
Bir müstəvinin mövcudluğu haqqında teoremə görə, yəni kəsişən iki xətt vasitəsiləV Və ilə Bir təyyarə çəkə bilərsiniz və yalnız bir.
Bir təyyarə düşününγ ( qamma ) , xətlərdən keçirilə Və b .
Təyyarə γ( qamma a xətti iki kəsişən b və c xəttinə perpendikulyar olduğundan ) istədiyiniz müstəvi olacaq
Problemin mətni ekranda görünür: Verilmiş xəttə perpendikulyar müstəvinin fəzanın istənilən nöqtəsindən keçdiyini sübut edin.
Ekranda rəsm
Ekran rəsmini yeniləyir və həll nöqtəsi əlavə edir.
Sübut:α, β yerinə yetirək: a , M
Rəsm və sübut nöqtəsi ekranda yenilənir 2)
Sübut:həyata keçirək b: b , b , bA, b a=O
Rəsm ekranda yenilənir və sübut nöqtəsi əlavə olunur 3)
Sübut:Gəlin bunu edək: ilə , ilə, ilə A
Sübut nöqtəsinin əlavə edilməsi 4)
Sübut nöqtəsi 5 əlavə edin)
a ⊥.
Bu məsələ verilmiş xəttə perpendikulyar olan müstəvinin mövcudluğunu nümayiş etdirir. Verilmiş müstəviyə perpendikulyar olan xəttin mövcudluğunu və unikallığını ifadə edən teoremi nəzərdən keçirək.
α müstəvisini və fəzada ixtiyari nöqtəni – A nöqtəsini nəzərdən keçirək.
Sübut edək ki, A nöqtəsindən verilmiş müstəviyə perpendikulyar tək düz xətt keçir.
1.2) Beləliklə, α müstəvisində ixtiyari düz xətt çəkəkm. Təyyarə yaradaqxəttinə perpendikulyar olan A nöqtəsindən keçsinm.
3.4) α və β müstəvisi düz xətlə kəsilsinn. β müstəvisində A nöqtəsi vasitəsilə xəttə perpendikulyar p xətti çəkirikn.
5) Birbaşa T , müstəviyə perpendikulyarβ , bu o deməkdir ki, bu müstəvidə istənilən düz xəttə, yəni düz xəttə perpendikulyardırT düz xəttə perpendikulyarR .
6) Sonra düz səhm Və n , təyyarədə uzanırα , buna görə də xəttin və müstəvinin perpendikulyarlığına əsaslanaraq, düz xəttinsəh müstəviyə perpendikulyarα .
7) Yalnız bir belə xəttin ola biləcəyini başa düşmək vacibdir. A nöqtəsindən iki düz xətt keçibsə, məsələn, başqa bir düz xəttsəh 1 , α müstəvisinə perpendikulyar. Amma bir müstəviyə perpendikulyar olan iki xətt paraleldir ki, bu da bizim fərziyyəmizə ziddir. Beləliklə, fəzada bir nöqtədən verilmiş müstəviyə perpendikulyar yalnız bir düz xətt keçir.
Həndəsədə bu ifadə müstəviyə perpendikulyar olan xətt haqqında teorem adlanır.
Ekrandakı mətn:
Kosmosun istənilən nöqtəsindən verilmiş müstəviyə perpendikulyar düz xətt keçir və yalnız bir.
Ekranda rəsm
Sübut:həyata keçirək m: m
Nəzərə alın ki, β: βA
həyata keçirək səh : səh , A R , axşam .
Nöqtə sübuta əlavə olunur 6)
Rəsm və sübut nöqtəsi ekranda yenilənir:
e isimTapşırıq
ABC düzbucağının A və B təpələri vasitəsiləD 1 və BB 1 1 AB və AA 1 A D D=25 sm, AB=12 sm, AD=16 sm.
Həlli.1) AA düz xətti olduğundan 1 kəsişən iki xəttə perpendikulyarADvə düzbucaqlının müstəvisində uzanan AB, sonra xəttin AA müstəvisinə perpendikulyarlıq işarəsi. 1 D.
2) Birbaşa BB 1 AA xəttinə paralel 1 deməli, teoremlə BB düz xətti 1 ABC müstəvisinə perpendikulyarD, və bu müstəvidə yerləşən istənilən düz xəttə, yəni BB-yə perpendikulyardır 1 B xəttinə perpendikulyarD. Beləliklə, B üçbucağı 1 V D düzbucaqlı.
3) Kimdən düz üçbucaq Hipotenuzanın Pifaqor teoreminin kvadratına görə BADBDAB və ayaqlarının kvadratlarının cəminə bərabərdirAD Və BD 20 sm-ə bərabərdir.
4) B düzbucaqlı üçbucağından Pifaqor teoremi ilə 1 V D. Kvadrat ayaq B 1 B hipotenuzası B kvadratlarının fərqinə bərabərdir 1 Dvə məşhur ayaqBD, ayaq isə 15 sm-dir.
Tapşırığın mətni ekranda görünür. ABC düzbucağının A və B təpələri vasitəsiləDparalel AA xətləri çəkilir 1 və BB 1 düzbucaqlının müstəvisində yatmayan. Məlumdur ki, A.A. 1 AB və AA 1 A D. B 1 olarsa BB 1 tapın D=25 sm, AB=12 sm, AD=16 sm
Ekranda mətn və rəsm:
Həll:2-ci nöqtə həllə əlavə olunur) rəsm yenilənir
Qərara 3-cü bənd əlavə edilsin)
: Pifaqor teoreminə görə
IN D=
Nöqtə 4) həllə, sonra isə cavaba əlavə edilir
: Pifaqor teoreminə görə
Cavab: 15 sm.
Gəlin sübut probleminə baxaq.
a xətti α müstəvisinə perpendikulyar və xəttinə perpendikulyardırb b||
Düz xəttin kəsişmə nöqtəsi ilə müstəvi nöqtəsini M adlandıraq.
1,2) Düz xətt üzərində işarələyinA bəzi məqamNdüz xətt üzərində uzanmamaqb. Verilmiş xətt üzərində olmayan bir nöqtə vasitəsilə verilənə paralel tək düz xətt çəkmək olar. Qoy bu düz xətt düz olsunb 1 .
3) Bir nöqtə vasitəsilə N-dən düz xətt çəkək 1 .
4) α müstəvisində M nöqtəsi vasitəsilə c xəttinə paralel c xətti çəkirik 1 .
5) ilə kəsişən iki xətt vasitəsilə 1 və b 1 müstəvinin mövcudluğu haqqında teoremə görə β müstəvisini çəkmək olar.
6) a xətti α müstəvisinə perpendikulyardır, yəni müstəvidə uzanan c xəttinə perpendikulyardır, lakin c c xəttinə paraleldir. 1 , buna görə də a xətti c xəttinə perpendikulyardır 1 .
7.8) Eynilə, a xətti xəttə perpendikulyardırbşərtlə, birbaşabxəttinə paralelb 1 , buna görə də a xətti xəttə perpendikulyardırb 1 . Bu o deməkdir ki, xəttin və müstəvinin perpendikulyarlığına əsaslanan a xətti β müstəvisinə perpendikulyardır.
9) α və β müstəviləri a xəttinə perpendikulyardır, yəni paraleldir.
10) Düz bxəttinə paralelb 1 , yəni β müstəvisinə paralel və α müstəvisinə paraleldir.
Tapşırıq mətni ekranda görünür:
Məsələ 3. a xətti α müstəvisinə perpendikulyar və xəttinə perpendikulyardırb , bu təyyarədə yatmır. Bunu sübut etb||
Verildi: a, a bBunu sübut et || b
Sübut:Qeyd N: .
b 1 : b 1
Rəsm ekranda yenilənir və sübut nöqtəsi əlavə olunur:
1-dən 1-dən həyata keçirəkRəsm ekranda yenilənir və 4-cü maddə əlavə olunur)
ilə keçirək: ilə
Rəsm ekranda yenilənir və sübut nöqtəsi əlavə olunur:
Sübut nöqtəsi 6 əlavə olunur):
a ⊥α
Əlavə sübut nöqtəsi 7) 8)
ab .
Sübut nöqtəsinin əlavə edilməsi 9)
Sübut nöqtəsi 10 əlavə olunur)
DƏRSİN MƏTNİN TRANSKripti:
Bugünkü mövzunun öyrənilməsinin əvvəlində xətlərin və müstəvilərin perpendikulyarlığına dair bəzi teoremlərin tətbiqi problemini təhlil edəcəyik.
Onları xatırlayaq: Birinci teorem Xəttin və müstəvinin perpendikulyarlığını yoxlayın
Əgər bir xətt müstəvidə yerləşən kəsişən iki xəttə perpendikulyardırsa, o zaman bu müstəviyə perpendikulyardır.
Paralel xətlər haqqında iki teorem isə birbaşa teoremdir. Əgər iki paralel xəttdən biri müstəviyə perpendikulyardırsa, digər xətt də bu müstəviyə perpendikulyardır.
Və əks teorem. Əgər iki xətt müstəviyə perpendikulyardırsa, deməli paraleldirlər. Bu teoremlərin sübutunu artıq müzakirə etdik.
Sübut edin ki, fəzanın istənilən nöqtəsindən verilmiş xəttə perpendikulyar müstəvi keçir.
Həll etmək üçün a düz xəttini və fəzada ixtiyari nöqtəni - M nöqtəsini nəzərdən keçirək. M nöqtəsindən keçən və a düz xəttinə perpendikulyar olan müstəvi olduğunu sübut edək.
Bunu sübut etmək üçün a xəttini ehtiva edən iki α və β müstəvisini çəkək, çünki bu onların ümumi xəttidir, yəni a düz xətti onların kəsişmə xəttidir.
M nöqtəsindən β müstəvisində a xəttinə perpendikulyar b xətti çəkirik. qoy bu xətlər O nöqtəsində kəsilsin.
α müstəvisində O nöqtəsindən keçən və a xəttinə perpendikulyar c xətti çəkirik.
Bir təyyarənin mövcudluğu haqqında teoremə görə, yəni və c-də kəsişən iki xətt vasitəsilə bir müstəvi çəkmək olar və yalnız bir.
c və b xətlərindən keçən γ (qamma) müstəvisini nəzərdən keçirək.
γ(qamma) müstəvisi istənilən müstəvi olacaq, çünki a xətti kəsişən iki b və c xəttinə perpendikulyardır.
Bu məsələ verilmiş xəttə perpendikulyar olan müstəvinin mövcudluğunu nümayiş etdirir. Verilmiş müstəviyə perpendikulyar olan xəttin mövcudluğunu və unikallığını ifadə edən teoremi nəzərdən keçirək.
Kosmosun istənilən nöqtəsindən verilmiş müstəviyə perpendikulyar düz xətt keçir və yalnız bir.
α müstəvisini və fəzada ixtiyari nöqtəni - A nöqtəsini nəzərdən keçirək.
Sübut edək ki, A nöqtəsindən verilmiş müstəviyə perpendikulyar tək düz xətt keçir.
1,2) Beləliklə, α müstəvisində ixtiyari m düz xətti çəkək. Elə müstəvi quraq ki, o, m xəttinə perpendikulyar olan A nöqtəsindən keçsin.
3.4) α və β müstəvisi n düz xətti boyunca kəsilsin. β müstəvisində A nöqtəsi vasitəsilə n düz xəttinə perpendikulyar p düz xətti çəkirik.
5) t düzü β müstəvisinə perpendikulyardır, yəni bu müstəvidə istənilən düz xəttə perpendikulyardır, yəni düz t düz p düz xəttinə perpendikulyardır.
6) Onda p düz xətti α müstəvisində yerləşən kəsişən iki m və n düz xəttinə perpendikulyardır, buna görə də xəttin və müstəvinin perpendikulyarlıq işarəsinə görə p düz xətti α müstəvisinə perpendikulyardır.
7) Yalnız bir belə xəttin ola biləcəyini başa düşmək vacibdir. A nöqtəsindən iki düz xətt keçdisə, məsələn, α müstəvisinə perpendikulyar olan başqa bir p1 düz xətti. Amma bir müstəviyə perpendikulyar olan iki xətt paraleldir ki, bu da bizim fərziyyəmizə ziddir. Beləliklə, fəzada bir nöqtədən verilmiş müstəviyə perpendikulyar yalnız bir düz xətt keçir.
Həndəsədə bu ifadə müstəviyə perpendikulyar olan xətt haqqında teorem adlanır.
ABCD düzbucaqlının A və B təpələri vasitəsilə düzbucaqlının müstəvisində olmayan AA1 və BB1 paralel xətləri çəkilir. Məlumdur ki, AA1 AB və AA1 AD. B1D=25 sm, AB=12 sm, AD=16 sm olduqda BB1-i tapın.
Həlli.1) AA1 düz xətti düzbucaqlının müstəvisində yerləşən kəsişən iki AD və AB düz xəttinə perpendikulyar olduğundan işarəsi
düz xəttin AA1 müstəvisinə perpendikulyarlığı ABCD müstəvisinə perpendikulyardır.
2) BB1 xətti AA1 xəttinə paraleldir, buna görə də teoremə görə BB1 xətti ABCD müstəvisinə perpendikulyar və bu müstəvidə yerləşən istənilən xəttə perpendikulyardır, yəni BB1 BD xəttinə perpendikulyardır. Beləliklə, B1ВD üçbucağı düz üçbucaqdır.
3) BAD sağ üçbucağından Pifaqor teoreminə görə BD hipotenuzasının kvadratı AB və AD ayaqlarının kvadratlarının cəminə, BD isə 20 sm-ə bərabərdir.
4) B1ВD düzbucaqlı üçbucağından Pifaqor teoremi ilə. B1B ayağının kvadratı B1D hipotenuzası ilə məlum olan BD ayağının kvadratları arasındakı fərqə bərabərdir və ayağı 15 sm-dir.
Gəlin sübut probleminə baxaq.
a xətti α müstəvisinə perpendikulyar və bu müstəvidə olmayan b xəttinə perpendikulyardır. Sübut edin ki, b||
Düz xəttin kəsişmə nöqtəsi ilə müstəvi nöqtəsini M adlandıraq.
1,2) a xəttində b xəttində olmayan bəzi N nöqtəsini qeyd edək. Verilmiş xətt üzərində olmayan bir nöqtə vasitəsilə verilənə paralel tək düz xətt çəkmək olar. Bu xətt b1 xətti olsun.
3) N nöqtəsindən c1 düz xətti çəkin.
4) α müstəvisində M nöqtəsi vasitəsilə c1 xəttinə paralel c xətti çəkirik.
5) İki kəsişən c1 və b1 düz xətti vasitəsilə müstəvinin mövcudluğu haqqında teoremə uyğun olaraq β müstəvisi çəkə bilərik.
6) a xətti α müstəvisinə perpendikulyardır, yəni müstəvidə uzanan c xəttinə perpendikulyardır, lakin c c1 xəttinə paraleldir, ona görə də a xətti c1 xəttinə perpendikulyardır.
7.8) Eynilə, a xətti şərtə görə b xəttinə perpendikulyardır, b xətti b1 xəttinə paraleldir, ona görə də a xətti b1 xəttinə perpendikulyardır. Bu o deməkdir ki, xəttin və müstəvinin perpendikulyarlığına əsaslanan a xətti β müstəvisinə perpendikulyardır.
9) α və β müstəviləri a xəttinə perpendikulyardır, yəni paraleldir.
10) b xətti b1 xəttinə paraleldir, yəni β müstəvisinə paralel, α müstəvisinə paraleldir.